Квадрат разлинован на N×N клеток (1

Откройте файл. Определите максимальную и минимальную денежную сумму, которую может собрать Робот, пройдя из левой нижней клетки в правую верхнюю. В ответ запишите два числа друг за другом без разделительных знаков — сначала максимальную сумму, затем минимальную.

Исходные данные представляют собой электронную таблицу размером N×N, каждая ячейка которой соответствует клетке квадрата.

Пример входных данных:

Для указанных входных данных ответом должна быть пара чисел 35 и 15.

Решение:

Открываем файл к данной задачке.

В начале найдём максимальную сумму.

Выделяем область всех ячеек, где написаны числа, вырезаем её и вставляем на столбец правее. Это нужно для того, чтобы при составлении формулы решения не было ошибок.

Обозначим мысленно ту область, где мы будем составлять наше решение, пропустив одну или две строчки снизу. По размеру область будет такая же.

В каждой ячейке этой области будет лежать максимальная cумма, которую может собрать Робот, дойдя до этой клетки. Т.к. Робот идёт в верхнюю правую клетку, то, соответственно, в ячейке K12 будет находится нужный нам ответ.

Наш Робот идёт из левой нижней клетки. Поэтому формулу, решающую эту задачу, составим сначала для ячейки B21.

Кликаем на ячейку B21 и пишем формулу:

Примечание: Чтобы в ячейке начать писать формулу, нужно поставить знак «=».

В любую ячейку нашей области можно попасть либо слева, либо снизу (Т.к. составляем формулу для любой ячейки, то не играет роли, что в данная ячейка угловая). Поэтому для ячейки B21 мы берём предыдущий результат — либо из левой ячейки, либо из правой ячейки, в зависимости от того, где собранная сумма больше.

Эту роль исполняет функция МАКС(). Она помогает выбрать откуда нужно идти, чтобы сумма всегда была максимальна.

Плюс, мы должны добавить сумму для данной ячейки к максимальной сумме предыдущей клетки. Поэтому в формулу дописываем ячейку B10

После того, как составили формулу для одной ячейки B21, можно распространить формулу на всю область.

Подносим мышку к правому нижнему углу. Как только появился чёрный крестик, кликаем левую кнопку мыши, и тянем вверх на 10 строчек вверх.

После того, как столбец готов, выделяем этот столбец, и аналогично, распространяем его на всё пространство.

В итоге получается такая картина:

Видим, что в ячейке K12 значение 1298. Это значение нам и нужно.

Аналогичным образом ищется минимальное значение, только в формуле вместо функции МАКС будет использоваться функция МИН.

Минимальное значение получилось 589.

Посмотрим ещё одну интересную задачу из примерны задач ЕГЭ по информатике нового образца 2021.

Квадрат разлинован на N×N клеток (2

Два исполнителя – ВЕРХ и НИЗ – существуют на одинаковых полях. Первый имеет две команды – вверх и вправо, второй – вниз и вправо, которые, соответственно, перемещают исполнитель на одну клетку вверх, вниз или вправо. Исполнитель ВЕРХ начинает движение в левой нижней ячейке, исполнитель НИЗ – в левой верхней.

Откройте файл. Какой из исполнителей соберет большее количество монет в результате своей работы, если известно, что каждый из них запрограммирован собрать максимальное количество монет?

Исходные данные представляют собой электронную таблицу размером N×N, каждая ячейка которой соответствует клетке квадрата.

Пример:

Для указанных входных данных ответом является комбинация из названия исполнителя и количества собранных монет

Решение:

Перенесём таблицу чисел на один столбец вправо.

Найдём, сколько соберёт монет исполнитель ВЕРХ.

Исполнитель «ВЕРХ» начинает идти с левой нижней клетки. Поэтому первую формулу мы зададим для клетки B27. Эта ячейка является нижней левой клеткой для области, где мы будем составлять решение.

Напишем в ячейке B27:

Распространим формулу на всё пространство.

Когда исполнитель пройдёт всё поле, в ячейке N15 будет находится ответ. Максимальное количество монет, которое может собрать исполнитель ВЕРХ будет 1743.

Теперь найдём максимальное количество монет, которое может собрать исполнитель НИЗ.

Решать будем аналогичным образом, удалив все следы от предыдущего исполнителя.

Т.к. исполнитель НИЗ стартует с левой верхней клетки, то мы сначала составим формулу для ячейки B15. Эта клетка олицетворяет левую верхнюю ячейку для области, где будет происходить решение.

В любую ячейку мы можем попасть либо сверху, либо слева. Это не относится к боковым и угловым ячейкам, но формула будет работать и для них.

При составлении максимальной суммы для любой ячейки, мы выбираем максимальное значение суммы из двух предыдущих ячеек + добавляем значение для этой ячейки.

Распространим формулу на всё пространство.

В ячейке N27 будет максимальное значение для исполнителя НИЗ. Получилось 1686.

Видим, что у исполнителя ВЕРХ получилось собрать больше монет.

Решим ещё одну задачу из примерных вариантов ЕГЭ по информатике 2021.

Квадрат разлинован на N×N клеток (2

Два исполнителя – ПРАВО и ЛЕВО – существуют в рамках одного поля. Первый имеет две команды – вверх и вправо, второй – вверх и влево, которые, соответственно, перемещают исполнитель на одну клетку вверх, вправо или влево. Исполнитель ПРАВО начинает движение в левой нижней ячейке, исполнитель ЛЕВО – в правой нижней.

Исполнители обязательно встречают в одной из клеток, находящихся в среднем столбце. При этом движение вверх по данному столбцу запрещено. Например, при работе в квадрате 5х5 исполнители встречаются в одной из клеток третьего столбца.

Какую максимальную сумму монет могут собрать исполнители.

Исходные данные представляют собой электронную таблицу размером N×N, каждая ячейка которой соответствует клетке квадрата.

Пример входных данных:

Для указанных входных данных ответом является число 75 (3+19+3+3, 5+11+8+10, 13)

Решение:

Перенесём таблицу чисел на один столбец вправо.

Роботы должны встретится в среднем столбце.

Один робот перемещается в левой части таблицы, другой в правой.

Найдём максимальное значение суммы количества монет для каждой ячейки левой и правой области (Исключая средний столбец).

Составим формулу для исполнителя ПРАВО в ячейке B27:

Распространим данную формулу на левую часть рабочей области.

Теперь составим формулу для исполнителя ЛЕВО в ячейке N27:

Распространим эту формулу для правой части.

Получается следующая картина:

Теперь нужно заполнить средний столбец и определить, где сумма получится наибольшая.

Пишем в ячейку h25:

Распространяем данную формулу на весь столбец H внутри рабочей области.

Видим, что максимальное значение в среднем столбце будет 22884. Это и будет ответ.

Big O Notation | 101 Вычислительная техника

Вопрос, на который мы попытаемся ответить в этом сообщении блога, следующий: как мы можем измерить эффективность / производительность алгоритма?

Сначала рассмотрим цитату Билла Гейтса (основателя Microsoft):

«Измерение прогресса программирования по строкам кода похоже на измерение прогресса постройки самолета по весу».

Итак, согласно Биллу Гейтсу, длина программы (в строках кода) не является критерием, который следует учитывать при оценке ее эффективности для решения проблемы или ее производительности.

• Длинная программа не обязательно означает, что программа написана наиболее эффективно.
• И наоборот, более короткая программа не обязательно работает лучше, чем более длинный фрагмент кода.

Обозначение Big O

Обозначение Big O используется в компьютерных науках для описания производительности (например, времени выполнения или используемого пространства) алгоритма.

Нотация Big O может использоваться для сравнения производительности различных алгоритмов поиска (например,грамм. линейный поиск по сравнению с двоичным), алгоритмы сортировки (сортировка вставкой, пузырьковая сортировка, сортировка слиянием и т. д.), обратный поиск, эвристические алгоритмы и т. д. Особенно полезно сравнивать алгоритмы, которые потребуют большого количества шагов и / или манипулируют большой объем данных (например, алгоритмы больших данных).

Наихудший сценарий

Обозначение Big O специально описывает наихудший сценарий алгоритма. Например, давайте рассмотрим линейный поиск (например, поиск пользователя по его имени в списке из 100 пользователей).В лучшем случае имя пользователя, по которому выполняется поиск, будет первым именем пользователя в списке. В этом случае алгоритм завершит поиск очень эффективно за одну итерацию. Однако в худшем случае имя пользователя, по которому выполняется поиск, будет последним в списке. В этом случае алгоритму потребуется 100 итераций, чтобы его найти.

Учитывая, что нотация Big O основана на наихудшем сценарии, мы можем сделать вывод, что линейный поиск среди N записей может занять N итераций.Существует линейная корреляция между количеством записей в наборе данных, в которых выполняется поиск, и количеством итераций сценария наихудшего случая.

В данном случае линейный поиск является линейным алгоритмом: Big O Обозначение: O (N)

Итак, давайте рассмотрим различные типы алгоритмов, которые можно классифицировать с помощью нотации Big O:

O (1) O (N) O (N ² ) O (2 ^N ) O (log (N))

Постоянная запись: O (1)

Например, алгоритм для получения первого значения набора данных всегда будет выполняться за один шаг, независимо от количества значений в наборе данных.

ФУНКЦИЯ getFirstElemnt (список) Список ВОЗВРАТА [0] КОНЕЧНАЯ ФУНКЦИЯ

Алгоритм хеширования — это алгоритм O (1), который можно использовать для очень эффективного поиска / поиска значения / ключа, когда данные хранятся с использованием хеш-таблицы.Это более эффективный способ, чем использование алгоритма линейного поиска O (N) или двоичного поиска O (Log (N)). (См. Пример сообщения в блоге об алгоритме хеширования для адресации памяти)

Линейное обозначение: O (N)

Алгоритмы, такие как линейный поиск, которые основаны на единственном цикле для итерации каждого значения набора данных, с большей вероятностью будут иметь линейную нотацию O (N), хотя это не всегда так (например,грамм. бинарный поиск).

ФУНКЦИЯ linearSearch (список, значение) ДЛЯ КАЖДОГО элемента В списке ЕСЛИ (элемент == значение) ВОЗВРАЩЕНИЕ верно КОНЕЦ ЕСЛИ СЛЕДУЮЩИЙ ВОЗВРАТ ЛОЖЬ КОНЕЧНАЯ ФУНКЦИЯ

Полиномиальное обозначение: O (N

• O (N ² ) представляет алгоритм, производительность которого прямо пропорциональна квадрату размера набора данных.
• O (N ³ ) представляет алгоритм, производительность которого прямо пропорциональна кубу размера набора данных.
• и т. Д.

Алгоритмы, основанные на вложенных циклах , с большей вероятностью будут иметь квадратичный O (N ² ) или кубический (N ³ ) и т. Д.в зависимости от уровня вложенности.

ПРОЦЕДУРА displayTimesTable () ДЛЯ i ОТ 1 ДО 10 ДЛЯ j ОТ 1 ДО 10 product = i * j ВЫХОД i + «раз» + j + «равно» + произведение СЛЕДУЮЩИЙ j СЛЕДУЮЩИЙ i КОНЕЦ ПРОЦЕДУРЫ

Обычно алгоритмы O (N ² ) могут быть найдены при манипулировании двумерными массивами , алгоритмы O (N ³ ) могут быть найдены при манипулировании трехмерными массивами и так далее.

ПРОЦЕДУРА emptyChessboardGrid () ДЛЯ ряда ОТ 0 до 7 ДЛЯ col от 0 до 7 сетка [строка] [столбец] = 0 СЛЕДУЮЩИЙ столбец СЛЕДУЮЩАЯ строка КОНЕЦ ПРОЦЕДУРЫ

Большинство алгоритмов сортировки, таких как пузырьковая сортировка, сортировка вставкой, алгоритмы быстрой сортировки, являются алгоритмами O (N ² ).

Экспоненциальная запись: O (2

Алгоритмы обратного отслеживания, которые проверяют все возможные пути решения проблемы, могут быть основаны на этой нотации. Такие алгоритмы становятся очень медленными по мере увеличения набора данных.

Пример экспоненциального алгоритма: алгоритм для перечисления всех возможных двоичных перестановок в зависимости от количества цифр (битов).

Логарифмическая запись: O (log (N))

Двоичный поиск — типичный пример логарифмического алгоритма. При двоичном поиске половина набора данных отбрасывается после каждой итерации. Это означает, что алгоритму, который выполняет поиск по 2 000 000 значений, потребуется еще одна итерация, чем если бы набор данных содержал только 1 000 000 значений.

Используйте логарифмический алгоритм (на основе двоичного поиска), чтобы играть в игру «Угадай число».

Что такое нотация Big O: сложность пространства и времени

Вы действительно понимаете Big O? Если да, то это освежит ваше понимание перед собеседованием. Если нет, не волнуйтесь — приходите и присоединяйтесь к нам, чтобы заняться информатикой.

Если вы посещали курсы, связанные с алгоритмами, вы, вероятно, слышали о термине Big O notation .Если нет, мы рассмотрим это здесь, а затем получим более глубокое понимание того, что это такое на самом деле.

Нотация Big O — один из самых фундаментальных инструментов компьютерных ученых для анализа стоимости алгоритма. Для инженеров-программистов также рекомендуется углубляться в понимание.

Эта статья написана с предположением, что вы уже взялись за некоторый код. Кроме того, для некоторых углубленных материалов также требуются основы математики в средней школе, и поэтому они могут быть немного менее удобными для новичков.Но если вы готовы, приступим!

В этой статье мы подробно обсудим нотацию Big O. Мы начнем с примера алгоритма, чтобы лучше понять. Затем мы немного углубимся в математику, чтобы получить формальное понимание. После этого мы рассмотрим некоторые распространенные варианты нотации Big O. В конце мы обсудим некоторые ограничения Big O на практике. Оглавление можно найти ниже.

Содержание

1. Что такое нотация Big O и почему это имеет значение
2. Формальное определение нотации Big O
3. Big O, Little O, Omega и Theta
4. Сравнение сложности между типичными большими O
5. Время и Сложность пространства
6. Наилучшая, Средняя, ​​Наихудшая, Ожидаемая сложность
7. Почему Big O не имеет значения
8. В конце…

Итак, приступим.

1. Что такое нотация Big O и почему это имеет значение

«Нотация Big O — это математическая нотация, которая описывает ограничивающее поведение функции, когда аргумент стремится к определенному значению или бесконечности. Это член семейства нотаций, изобретенных Полом Бахманном, Эдмундом Ландау и другими, которые в совокупности называются нотацией Бахмана – Ландау или асимптотической нотацией ».

— Определение нотации Big O в Википедии

Проще говоря, нотация Big O описывает сложность вашего кода с использованием алгебраических терминов.

Чтобы понять, что такое нотация Big O, мы можем взглянуть на типичный пример: O (n²) , который обычно произносится как «Большой O в квадрате» . Буква «n» здесь представляет входной размер , а функция «g (n) = n²» внутри «O ()» дает нам представление о том, насколько сложен алгоритм зависит от размера ввода.

Типичным алгоритмом, имеющим сложность O (n²), будет алгоритм выборочной сортировки .Сортировка по выбору — это алгоритм сортировки, который выполняет итерацию по списку, чтобы гарантировать, что каждый элемент с индексом i является с наименьшим / наибольшим элементом списка. CODEPEN ниже дает наглядный пример этого.

Алгоритм можно описать следующим кодом. Чтобы убедиться, что -й элемент является -м наименьшим элементом в списке, этот алгоритм сначала выполняет итерацию по списку с помощью цикла for.Затем для каждого элемента он использует другой цикл for, чтобы найти наименьший элемент в оставшейся части списка.

  SelectionSort (Список) {
  for (i от 0 до List.Length) {
    SmallestElement = Список [i]
    for (j от i до List.Length) {
      if (SmallestElement> List [j]) {
        SmallestElement = Список [j]
      }
    }
    Своп (Список [i], наименьший элемент)
  }
}  

В этом сценарии мы рассматриваем переменную List в качестве входных данных, таким образом, размер входных данных n равен количеству элементов внутри List .Предположим, что оператор if и присвоение значения, ограниченное оператором if, занимает постоянное время. Затем мы можем найти большую нотацию O для функции SelectionSort, проанализировав, сколько раз выполняются операторы.

Сначала внутренний цикл for выполняет инструкции внутри n раз. А затем после увеличения i внутренний цикл for выполняется n-1 раз…… пока он не выполняется один раз, затем оба цикла for достигают своих условий завершения.

На самом деле это приводит к геометрической сумме, и с помощью математики средней школы мы обнаружим, что внутренний цикл будет повторяться 1 + 2… + n раз, что равно n (n-1) / 2 раза.Если мы умножим это, мы получим n² / 2-n / 2.

Когда мы вычисляем нотацию большого O, нас интересуют только доминирующие члены , и нас не волнуют коэффициенты. Таким образом, мы берем n² в качестве последнего большого O. Мы записываем его как O (n²), что снова произносится как «Большой O в квадрате» .

Теперь вам может быть интересно, что это за «доминирующий термин» ? А почему нас не волнуют коэффициенты? Не волнуйтесь, мы рассмотрим их один за другим.Вначале это может быть немного сложно понять, но все это станет более понятным, когда вы прочитаете следующий раздел.

2. Формальное определение нотации большой буквы «О»

Жил-был индийский король, который хотел наградить мудрого человека за его превосходство. Мудрец не просил ничего, кроме пшеницы, которой можно было бы заполнить шахматную доску.

Но вот его правила: на первом тайле он хочет 1 зерно пшеницы, затем 2 на втором тайле, затем 4 на следующем … каждый тайл на шахматной доске должен быть заполнен двойным количеством зерен, как предыдущий.Наивный король согласился, не раздумывая, думая, что это будет тривиальное требование, чтобы выполнить его, пока он на самом деле не пошел и не попробовал…

Итак, сколько зерен пшеницы король должен мудрому человеку? Мы знаем, что на шахматной доске 8 клеток на 8 клеток, что в сумме составляет 64 плитки, поэтому на последней плитке должно быть 2⁶⁴ зерна пшеницы. Если вы произведете расчет онлайн, вы получите 1,8446744 * 10¹⁹, то есть примерно 18, за которыми следуют 18 нулей. Предполагая, что каждое зерно пшеницы весит 0.01 грамм, что дает нам 184 467 440 737 тонн пшеницы. А 184 миллиарда тонн — это много, не правда ли?

В дальнейшем цифры растут довольно быстро для экспоненциального роста, не так ли? Та же логика применима к компьютерным алгоритмам. Если требуемые усилия для выполнения задачи растут экспоненциально по отношению к размеру входных данных, они могут в конечном итоге стать чрезвычайно большими.

Теперь квадрат 64 равен 4096. Если вы прибавите это число к 2⁶⁴, оно будет потеряно за пределами значащих цифр. Вот почему, когда мы смотрим на темпы роста, мы заботимся только о доминирующих условиях.И поскольку мы хотим проанализировать рост по отношению к размеру входных данных, коэффициенты, которые только умножают число, а не увеличиваются с размером входных данных, не содержат полезной информации.

Ниже приводится формальное определение Big O:

Формальное определение полезно, когда вам нужно выполнить математическое доказательство. Например, временная сложность для сортировки выбора может быть определена функцией f (n) = n² / 2-n / 2, как мы обсуждали в предыдущем разделе.

Если мы позволим нашей функции g (n) быть n², мы сможем найти константу c = 1 и N₀ = 0, и до тех пор, пока N> N will, N² всегда будет больше, чем N² / 2-N / 2. Мы можем легко доказать это, вычитая N² / 2 из обеих функций, тогда мы легко увидим, что N² / 2> -N / 2 истинно, когда N> 0. Следовательно, мы можем прийти к выводу, что f (n) = O (n²), в другой выборке сорт — «большой O в квадрате».

Вы могли заметить здесь небольшую хитрость. То есть, если вы заставите g (n) вырастить ужин быстрее, чем что-либо еще, O (g (n)) всегда будет достаточно большим.Например, для любой полиномиальной функции вы всегда можете быть правы, говоря, что они равны O (2ⁿ), потому что 2ⁿ в конечном итоге перерастет любые полиномы.

Математически вы правы, но обычно, когда мы говорим о Big O, мы хотим знать жесткую границу функции. Вы поймете это больше, когда прочитаете следующий раздел.

Но прежде чем мы продолжим, давайте проверим ваше понимание с помощью следующего вопроса. Ответ будет найден в следующих разделах, так что его не бросить.

Вопрос: Изображение представлено двумерным массивом пикселей. Если вы используете вложенный цикл for для итерации каждого пикселя (то есть у вас есть цикл for, проходящий через все столбцы, а затем другой цикл for внутри, чтобы пройти все строки), какова временная сложность алгоритма, когда изображение считается входным?

3. Big O, Little O, Omega & Theta

Big O: «f (n) is O (g (n))» тогда и только тогда, когда для некоторых констант c и N₀, f (N) ≤ cg (N) для all N> N₀

Omega: «f (n) is Ω (g (n))» тогда и только тогда, когда для некоторых констант c и N₀, f (N) ≥ cg (N) для всех N> N₀

Theta: «f (n) — это Θ (g (n)) »тогда и только тогда, когда f (n) равно O (g (n)) и f (n) равно Ω (g (n))

Little O:« f (n) is o (g (n)) ”, если и только если f (n) равно O (g (n)), а f (n) не равно Θ (g (n))

— Формальное определение Big O, Omega, Theta и Little O

Простыми словами:

• Big O (O ()) описывает верхнюю границу сложности.
• Омега (Ω ()) описывает нижнюю границу сложности.
• Theta (Θ ()) описывает точную границу сложности.
• Little O (o ()) описывает верхнюю границу , исключая точную границу .

Например, функция g (n) = n² + 3n — это O (n³), o (n⁴), Θ (n²) и Ω (n). Но вы все равно будете правы, если скажете, что это Ω (n²) или O (n²).

Обычно, когда мы говорим о Big O, на самом деле мы имели в виду Тету. Когда вы даете верхнюю границу, намного превышающую объем анализа, это бессмысленно. Это было бы похоже на решение неравенства путем добавления ∞ к большей стороне, что почти всегда сделает вас правым.

Но как определить, какие функции сложнее других? В следующем разделе, который вы прочитаете, мы узнаем об этом подробно.

4. Сравнение сложности между типичными большими операциями

Когда мы пытаемся вычислить большой О для конкретной функции g (n), нас интересует только доминирующий член функции .Доминирующий термин — это термин, который растет быстрее всего.

Например, n² растет быстрее, чем n, поэтому, если у нас есть что-то вроде g (n) = n² + 5n + 6, оно будет большим O (n²). Если вы уже занимались каким-либо исчислением раньше, это очень похоже на быстрый способ поиска пределов для дробных многочленов, когда в конечном итоге вы заботитесь только о доминирующем члене для числителей и знаменателей.

Но какая функция растет быстрее других? На самом деле существует довольно много правил.

1. O (1) имеет наименьшую сложность

Часто называется «постоянное время» , если вы можете создать алгоритм для решения проблемы в O (1), вы наверное, в лучшем виде. В некоторых сценариях сложность может превышать O (1), тогда мы можем проанализировать их, найдя его аналог O (1 / g (n)). Например, O (1 / n) сложнее, чем O (1 / n²).

2. O (log (n)) более сложен, чем O (1), но менее сложен, чем полиномы

Поскольку сложность часто связана с алгоритмами «разделяй и властвуй», O (log (n)) обычно является хорошей сложностью. вы можете обратиться к алгоритмам сортировки.O (log (n)) менее сложен, чем O (√n), потому что функцию квадратного корня можно рассматривать как многочлен, где показатель степени равен 0,5.

3. Сложность многочленов увеличивается с увеличением степени.

Например, O (n⁵) сложнее, чем O (n⁴). Из-за его простоты мы фактически рассмотрели довольно много примеров многочленов в предыдущих разделах.

4. Экспоненты имеют большую сложность, чем полиномы, пока коэффициенты являются положительными кратными n.

O (2ⁿ) сложнее, чем O (n⁹⁹), но O (2ⁿ) на самом деле менее сложен, чем O (1).Обычно мы принимаем 2 в качестве основы для экспонент и логарифмов, потому что в компьютерных науках все имеет тенденцию быть двоичным, но показатели можно изменить, изменив коэффициенты. Если не указано иное, основание для логарифмов предполагается равным 2.

5. Факториалы имеют большую сложность, чем экспоненты

Если вас интересуют рассуждения, найдите функцию Гамма , это аналитическое продолжение из факториал. Краткое доказательство состоит в том, что и факториалы, и экспоненты имеют одинаковое количество умножений, но числа, которые умножаются, растут для факториалов, а для экспонент остаются постоянными.

6. Умножение членов

При умножении сложность будет больше исходной, но не более, чем эквивалент умножения чего-то более сложного. Например, O (n * log (n)) сложнее, чем O (n), но менее сложно, чем O (n²), потому что O (n²) = O (n * n) и n сложнее, чем log (n ).

Чтобы проверить свое понимание, попробуйте ранжировать следующие функции от наиболее сложных до сложных. Решения с подробными объяснениями можно найти в следующем разделе по мере чтения.Некоторые из них должны быть сложными и могут потребовать более глубокого понимания математики. Когда вы доберетесь до решения, вы поймете их больше.

Вопрос: Распределите функции от наиболее сложных до комплексных.

Решение раздела 2 Вопрос:

На самом деле это был вопрос с подвохом, чтобы проверить ваше понимание. Вопрос пытается заставить вас ответить O (n²), потому что существует вложенный цикл for.Однако предполагается, что размер входных данных равен n. Поскольку массив изображений является входом, и каждый пиксель был повторен только один раз, ответ на самом деле O (n). В следующем разделе мы рассмотрим больше примеров, подобных этому.

5. Сложность во времени и пространстве

До сих пор мы обсуждали только временную сложность алгоритмов. То есть нас волнует только то, сколько времени потребуется программе для выполнения задачи. Также важно пространство, которое занимает программа для выполнения задачи.Сложность пространства связана с тем, сколько памяти будет использовать программа, и поэтому также является важным фактором для анализа.

Пространственная сложность работает аналогично временной сложности. Например, сортировка по выбору имеет сложность пространства O (1), поскольку она хранит только одно минимальное значение и его индекс для сравнения, максимальное используемое пространство не увеличивается с размером ввода.

Некоторые алгоритмы, такие как сортировка по корзине, имеют пространственную сложность O (n), но могут сократить временную сложность до O (1).Bucket sort сортирует массив, создавая отсортированный список всех возможных элементов в массиве, а затем увеличивает счетчик при каждом обнаружении элемента. В конце отсортированный массив будет содержать отсортированные элементы списка, повторяющиеся по их количеству.

6. Наилучшая, средняя, ​​наихудшая, ожидаемая сложность

Сложность также может быть проанализирована как лучший случай, наихудший случай, средний случай и ожидаемый случай.

Возьмем, к примеру, сортировку вставкой , .Сортировка вставкой перебирает все элементы в списке. Если элемент больше, чем его предыдущий элемент, он вставляет элемент назад, пока он не станет больше, чем предыдущий элемент.

Если массив изначально отсортирован, замена не производится. Алгоритм просто выполнит итерацию по массиву один раз, что приведет к временной сложности O (n). Следовательно, мы бы сказали, что наилучшая временная сложность сортировки вставкой равна O (n).Сложность O (n) также часто называют линейной сложностью .

Иногда алгоритму просто не везет. Быстрая сортировка, например, должна будет пройти по списку за O (n) раз, если элементы отсортированы в обратном порядке, но в среднем он сортирует массив за O (n * log (n)) времени. Обычно, когда мы оцениваем временную сложность алгоритма, мы смотрим на его производительность в наихудшем случае . Подробнее об этом и о быстрой сортировке мы поговорим в следующем разделе по мере чтения.

Средняя сложность случая описывает ожидаемую производительность алгоритма. Иногда предполагает расчет вероятности каждого сценария. Может быть сложно вдаваться в подробности и поэтому не обсуждается в этой статье. Ниже приведена шпаргалка по временной и пространственной сложности типичных алгоритмов.

Решение вопроса Раздела 4:

Путем проверки функций мы должны быть в состоянии сразу ранжировать следующие многочлены от наиболее сложных до сложных по правилу 3.Где квадратный корень из n равен n в степени 0,5.

Тогда, применив правила 2 и 6, мы получим следующее. Лог по базе 3 можно преобразовать в базу 2 с помощью преобразования базы данных . Журнал базы 3 по-прежнему растет немного медленнее, чем журналы базы 2, и поэтому занимает место после него.

Остальные могут показаться немного сложными, но давайте попробуем раскрыть их истинные лица и посмотреть, куда мы можем их поместить.

Во-первых, 2 в степени 2 в степени n больше, чем 2 в степени n, а +1 делает это еще больше.

И поскольку мы знаем, что 2 в степени log (n) с основанием 2 равно n, мы можем преобразовать следующее. Журнал с показателем 0,001 растет немного больше, чем константы, но меньше, чем что-либо еще.

Тот, у которого n в степени log (log (n)), на самом деле является вариацией квазиполинома , который больше полинома, но меньше экспоненты. Поскольку log (n) растет медленнее, чем n, его сложность немного меньше. Один с обратным логарифмом сходится к константе, поскольку 1 / log (n) расходится до бесконечности.

Факториалы могут быть представлены умножением и, таким образом, могут быть преобразованы в сложения вне логарифмической функции. «N выбирают 2» можно преобразовать в многочлен с кубическим членом, являющимся наибольшим.

И, наконец, мы можем ранжировать функции от наиболее сложных до наименее сложных.

Почему BigO не имеет значения

!!! — ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ — !!!

Обсуждаемое здесь содержание обычно не принимается большинством программистов в мире.Обсудите на свой страх и риск в интервью. Люди на самом деле писали в блогах о том, как они провалили собеседований в Google, потому что они сомневались в авторитете, как здесь.

!!! — ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ — !!!

Поскольку мы ранее узнали, что наихудшая временная сложность для быстрой сортировки составляет O (n²), но O (n * log (n)) для сортировки слиянием, сортировка слиянием должна быть быстрее, верно? Вы, наверное, догадались, что ответ неверен. Алгоритмы просто скомпонованы таким образом, чтобы быстро отсортировать «быстрая сортировка» .

Для демонстрации посмотрите этот созданный мной trinket.io. Он сравнивает время быстрой сортировки и сортировки слиянием. Мне удалось протестировать его только на массивах длиной до 10000, но, как вы уже заметили, время сортировки слиянием растет быстрее, чем быстрой сортировки. Несмотря на то, что быстрая сортировка имеет сложность худшего случая O (n²), вероятность этого действительно мала. Когда дело доходит до увеличения скорости, быстрая сортировка превосходит сортировку слиянием, ограниченную сложностью O (n * log (n)), быстрая сортировка в среднем дает лучшую производительность.

Я также построил график ниже, чтобы сравнить соотношение времени, которое они занимают, так как их трудно увидеть при более низких значениях. И, как вы можете видеть, процент времени, затрачиваемый на быструю сортировку, находится в порядке убывания.

Мораль истории в том, что нотация Big O — это всего лишь математический анализ, позволяющий оценить ресурсы, потребляемые алгоритмом. Практически результаты могут быть разными.Но, как правило, хорошей практикой является снижение сложности наших алгоритмов до тех пор, пока мы не столкнемся с ситуацией, когда мы знаем, что делаем.

В конце концов…

Мне нравится программировать, изучать новые вещи и делиться ими с сообществом. Если есть что-то, что вас особенно интересует, дайте мне знать. Обычно я пишу о веб-дизайне, архитектуре программного обеспечения, математике и науке о данных. Вы можете найти несколько отличных статей, которые я написал раньше, если вам интересна какая-либо из вышеперечисленных тем.

Надеюсь, вы хорошо проведете время, изучая информатику !!!

определение и примеры · YourBasic

yourbasic.org

Big O — удобный способ описать, насколько быстро функция растет.

Определение

Когда мы вычисляем временную сложность T ( n ) алгоритма мы редко получаем точный результат, только оценку. Ничего страшного, в информатике мы обычно интересует только, насколько быстро T ( n ) растет в зависимости от входного размера n .

Например, если алгоритм увеличивает каждое число в списке длиной n , можно сказать: «Этот алгоритм выполняется за O ( n ) времени и выполняет O (1) работы для каждого элемента».

Вот формальное математическое определение Big O.

Пусть T ( n ) и f ( n ) — две положительные функции. Мы пишем T ( n ) ∊ O (f ( n )) , и говорим, что T ( n ) имеет порядок f ( n ), если существуют такие положительные постоянные M и n₀, что T ( n ) ≤ M · f ( n ) для всех n ≥ n₀.

На этом графике показана ситуация, когда выполняются все условия в определении.

По существу:

T ( n ) ∊ O (f ( n )) означает, что T ( n ) не растет быстрее, чем f ( n ).

Постоянное время

Начнем с простейшего возможного примера: T ( n ) ∊ O (1) .

По определению это означает, что существуют константы M и n₀ такое, что T ( n ) ≤ M, когда n ≥ n₀.Другими словами, T ( n ) ∊ O (1) означает, что T ( n ) меньше некоторой фиксированной константы, значение которой не указано, для всех достаточно больших значений n .

Алгоритм с T ( n ) ∊ O (1), как говорят, имеет постоянная временная сложность .

Линейное время

В статье о сложности времени, мы рассмотрели алгоритм со сложностью T ( n ) = n -1. Используя нотацию Big O, это можно записать как T ( n ) ∊ O ( n ) .(Если выбрать M = 1 и n₀ = 1, то Т ( n ) = n — 1 ≤ 1 · n при n ≥ 1.)

Алгоритм с T ( n ) ∊ O ( n ), как говорят, имеет линейная временная сложность .

Квадратичное время

Второй алгоритм в Статья о временной сложности имел временную сложность T ( n ) = n ² /2 — n /2. С обозначением Big O это становится T ( n ) ∊ O ( n ² ) , и мы говорим что алгоритм имеет квадратичную временную сложность .

Неряшливые обозначения

Обозначение T ( n ) ∊ O (f ( n )) может использоваться, даже если f ( n ) растет на намного быстрее , чем T ( n ). Например, мы можем написать T ( n ) = n — 1 ∊ O ( n ² ). Это действительно так, но не очень полезно.

Ом и обозначение Θ

Big Omega используется для определения нижней границы для роста функции.Он определяется так же, как Big O, но с перевернутым знаком неравенства:

Пусть T ( n ) и f ( n ) — две положительные функции. Мы пишем T ( n ) ∊ Ω (f ( n )) , и говорим, что Т ( n ) большая омега f ( n ), если существуют такие положительные постоянные m и n₀, что T ( n ) ≥ m (f ( n )) для всех n ≥ n₀.

Big Theta используется для обозначения того, что функция ограничена как сверху, так и снизу.

T ( n ) ∊ Θ (f ( n )) если T ( n ) равно O (f ( n )) и Ω (f ( n )).

Пример

T ( n ) = 3 n ³ + 2 n + 7 ∊ Θ ( n ³ )

• Если n ≥ 1, то T ( n ) = 3 n ³ + 2 n + 7 ≤ 3 n ³ + 2 n ³ + 7 n ³ = 12 № ³ .Следовательно, T ( n ) ∊ O ( n ³ ).
• С другой стороны, T ( n ) = 3 n ³ + 2 n + 7> n ³ для всех положительных n . Следовательно, T ( n ) ∊ Ω ( n ³ ).
• И, следовательно, T ( n ) ∊ Θ ( n ³ ).

Основные выводы

При анализе алгоритмов часто встречаются следующие временные сложности.

Первые четыре сложности указывают на отличный алгоритм.Алгоритм с наихудшей временной сложностью W ( n ) ∊ O ( n log n ) очень хорошо масштабируется, поскольку логарифмы растут очень медленно.

• журнал ₂ 1000 ≈ 10
• журнал ₂ 1000000 ≈ 20
• журнал ₂ 1000000000 ≈ 30

Фактически, временная сложность Θ ( n log n ) очень близка к линейной — требуется примерно в два раза больше времени, чтобы решить проблему, в два раза большую.

n log n скорость роста близка к линейной

Ом (

Последние три сложности обычно означают неприятности. Алгоритмы с временной сложностью Ω ( n ² ) полезны только для небольшого ввода: n не должно быть больше нескольких тысяч.

10 000 ² = 100 000 000

Алгоритм с квадратичной временной сложностью плохо масштабируется — если вы увеличите размер ввода в 10 раз, время увеличивается в 100 раз.

Дополнительная литература

Временная сложность операций с массивами / списками [Java, Python]

Поделиться:

информатика | Определение, поля и факты

Информатика , изучение компьютеров и вычислений, включая их теоретические и алгоритмические основы, аппаратное и программное обеспечение, а также их использование для обработки информации. Дисциплина информатики включает изучение алгоритмов и структур данных, компьютерное и сетевое проектирование, моделирование данных и информационных процессов, а также искусственный интеллект.Информатика берет некоторые свои основы из математики и инженерии и поэтому включает методы из таких областей, как теория массового обслуживания, вероятность и статистика, а также проектирование электронных схем. Информатика также широко использует проверку гипотез и экспериментирование во время концептуализации, проектирования, измерения и уточнения новых алгоритмов, информационных структур и компьютерных архитектур.

Популярные вопросы

Что такое информатика?

Кто самые известные компьютерные ученые?

Что можно делать с информатикой?

Используется ли информатика в видеоиграх?

Как изучать информатику?

Многие университеты по всему миру предлагают степени, которые обучают студентов основам теории информатики и приложениям компьютерного программирования.Кроме того, преобладание онлайн-ресурсов и курсов позволяет многим людям самостоятельно изучать более практические аспекты информатики (такие как кодирование, разработка видеоигр и дизайн приложений).

Информатика считается частью семейства из пяти отдельных, но взаимосвязанных дисциплин: компьютерная инженерия, информатика, информационные системы, информационные технологии и программная инженерия. Это семейство стало известно как дисциплина вычислений.Эти пять дисциплин взаимосвязаны в том смысле, что информатика является их объектом изучения, но они отделены друг от друга, поскольку каждая имеет свою исследовательскую перспективу и направленность учебной программы. (С 1991 года Ассоциация вычислительной техники [ACM], Компьютерное общество IEEE [IEEE-CS] и Ассоциация информационных систем [AIS] сотрудничают, чтобы разработать и обновить таксономию этих пяти взаимосвязанных дисциплин и руководящие принципы, которые образовательные учреждения во всем мире для своих программ бакалавриата, магистратуры и исследований.)

Основные области информатики включают традиционное изучение компьютерной архитектуры, языков программирования и разработки программного обеспечения. Однако они также включают в себя вычислительную науку (использование алгоритмических методов для моделирования научных данных), графику и визуализацию, взаимодействие человека с компьютером, базы данных и информационные системы, сети, а также социальные и профессиональные вопросы, которые являются уникальными для практики информатики. . Как может быть очевидно, некоторые из этих подполей частично совпадают в своей деятельности с другими современными областями, такими как биоинформатика и вычислительная химия.Эти совпадения являются следствием тенденции компьютерных ученых признавать многочисленные междисциплинарные связи в своей области и действовать в соответствии с ними.

Развитие информатики

Информатика возникла как самостоятельная дисциплина в начале 1960-х годов, хотя электронно-цифровой компьютер, являющийся объектом ее изучения, был изобретен примерно двумя десятилетиями ранее. Корни информатики лежат, прежде всего, в смежных областях математики, электротехники, физики и информационных систем управления.

Математика является источником двух ключевых концепций в развитии компьютера — идеи о том, что вся информация может быть представлена ​​в виде последовательностей нулей и единиц, и абстрактного понятия «хранимая программа». В двоичной системе счисления числа представлены последовательностью двоичных цифр 0 и 1 так же, как числа в знакомой десятичной системе представлены цифрами от 0 до 9.Относительная легкость, с которой два состояния (например, высокое и низкое напряжение) могут быть реализованы в электрических и электронных устройствах, естественным образом привела к тому, что двоичная цифра или бит стал основной единицей хранения и передачи данных в компьютерной системе.

Электротехника обеспечивает основы проектирования схем, а именно идею о том, что электрические импульсы, входящие в схему, могут быть объединены с использованием булевой алгебры для получения произвольных выходных сигналов. (Булева алгебра, разработанная в 19 веке, предоставила формализм для проектирования схемы с двоичными входными значениями нулей и единиц [ложь или истина, соответственно, в терминологии логики], чтобы получить любую желаемую комбинацию нулей и единиц на выходе.) Изобретение транзистора и миниатюризация схем, наряду с изобретением электронных, магнитных и оптических носителей для хранения и передачи информации, явились результатом достижений в области электротехники и физики.

Информационные системы управления, первоначально называвшиеся системами обработки данных, предоставили ранние идеи, на основе которых развились различные концепции информатики, такие как сортировка, поиск, базы данных, поиск информации и графические пользовательские интерфейсы.В крупных корпорациях размещались компьютеры, на которых хранилась информация, которая имела решающее значение для ведения бизнеса: расчет заработной платы, бухгалтерский учет, управление запасами, производственный контроль, отгрузка и получение.

Теоретические работы по вычислимости, начатые в 1930-х годах, обеспечили необходимое распространение этих достижений на проектирование целых машин; важной вехой стала спецификация машины Тьюринга (теоретическая вычислительная модель, выполняющая инструкции, представленные в виде последовательности нулей и единиц) в 1936 году британским математиком Аланом Тьюрингом и его доказательство вычислительной мощности модели.Другим прорывом стала концепция компьютера с хранимой программой, которую обычно приписывают венгерскому американскому математику Джону фон Нейману. Это истоки области информатики, которая позже стала известна как архитектура и организация.

  печать «привет»;
  

  печать «привет»;
напечатайте «привет»;
напечатайте «привет»;
  

  для (int i = 1; i <= n; i = i * 2)
  напечатайте «привет»;
  

  для (int i = 1; i <= n; i = i * 3)
  напечатайте «привет»;
  

  для (double i = 1; i  

  для (int i = 0; i  

  для (int i = 0; i